2022美赛e题全方位分析

一、题意介绍

2022美赛e题，是一道经典的网络流算法题目，考察的是多源汇最小费用最大流问题。题目中给出一个有向带权图，其中每条边都有最大容量和单位费用。还给出了n个源点和n个汇点，要求从源点送n个单位的流量到汇点，每个源点只能送1个单位的流量，汇点也只能接收1个单位的流量。求在满足这个条件的前提下，最小化发送费用。

这道题目看上去比较复杂，但是只要掌握了相关的算法和思路，就可以简单高效地解决。下面分别从网络流、费用流、Dijkstra算法和多源汇问题四个方面进行详细分析。

二、网络流

网络流算法是指在一个图中寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径中所有边的权值之和最小（或最大）。网络流算法中比较经典的有 Ford-Fulkerson 算法，Dinic 算法，Edmonds-Karp算法等。

三、费用流

费用流问题指的是找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上所有边的流量都大于等于0，同时使得路径上所有边的费用之和最小或最大。

四、Dijkstra算法

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年发明，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。其基本思想是贪心，每一次找到一个距离源点最近的未标记顶点，并将其标记，然后根据这个顶点的出边更新与它直接相邻的顶点到源点的距离。


// Dijkstra算法伪代码
for (i=1; i<=n; i++) {
    dist[i] = inf;
    vis[i] = false;
}
dist[s] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {
    int minDist = inf, u = -1;
    for (j=1; j<=n; j++) {
        if (!vis[j] && minDist > dist[j]) {
            minDist = dist[j];
            u = j;
        }
    }
    if (u == -1) break;
    vis[u] = true;
    for (int k=head[u]; k; k=edge[k].next) {
        int v = edge[k].to;
        if (dist[v] > dist[u] + edge[k].w) {
            dist[v] = dist[u] + edge[k].w;
        }
    }
}

五、多源汇问题

多源汇问题指的是给定一个有向图中，存在多个源点和多个汇点，要求从源点到汇点传输一定数量的流量，同时存在一定的源点-汇点流量约束条件。

多源汇问题可以转化为最小费用最大流问题，具体做法是将源点向汇点连一条容量为1，费用为0的边，然后通过建立超级源点和超级汇点的方式，将多个源点和多个汇点转化为单个源点和汇点的方式，再进行求解。


// 多源汇问题伪代码
for (i=1; i<=n; i++) {
    add_edge(s, i, 1, 0);
    add_edge(i+n, t, 1, 0);
    for (j=1; j<=n; j++) {
        int cost;
        scanf("%d", &cost);
        add_edge(i, j+n, 1, cost);
    }
}
int flow, cost;
min_cost_flow(s, t, INF, flow, cost);
printf("%d\n", cost);

六、总结

综上所述，2022美赛e题是一道操作难度较高的网络流算法题目，考察了多种经典的算法和思路，包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、费用流算法、Dijkstra算法和多源汇问题。对于学习者来说，需要多加练习，深入理解每个算法的思想和实现方式，在实践中不断提高调试和优化的能力，才能真正掌握这些知识点。