floyd算法为什么要用邻接矩阵实现而不用邻接表?

一、floyd算法为什么要用邻接矩阵实现而不用邻接表

floyd算法要用邻接矩阵实现而不用邻接表是因为需要O(1)时间查询任意两个顶点的边权值，在这一句中：d(i, j) = d(i, k) + d(k, j)。Floyd 算法是一个基于「贪心」、「动态规划」求一个图中 所有点到所有点 最短路径的算法，时间复杂度 O(n3)。

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2)算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3)Floyd算法过程矩阵的计算—-十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角。

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点。

延伸阅读：

二、滚动数组

滚动数组是一种动态规划中常见的降维优化的方式，应用广泛（背包dp等），可以极大的减少空间复杂度。在我们求出的状态转移方程中，我们在更新f[k]层状态的时候，用到f[k-1]层的值，f[k-2] f[k-3]层的值就直接废弃了。所以我们大可让名列前茅层的大小从n变成2,再进一步，我们在f[k]层更新f[k][i][j]的时候，f[k-1][i][k] 和 f[k-1][k][j] 我们如果能保证，在更新k层另外一组路径m->n的时候，不受前面更新过的f[k][i][j]的影响，就可以把名列前茅维度去掉了。我们现在去掉名列前茅个维度，写成我们在代码中的那样，就是f[i][j] 依赖 f[i][k] + f[k][j] 我们在更新f[m][n]的时候，用到了f[m][k] + f[k][n] 假设f[i][j]的更新影响到了f[m][k] 或者 f[k][m] 即 {m=i,k=j} 或者 {k=i,n=j} 这时候有两种情况，j和k是同一个点，或者i和k是同一个点，那么 f[i][j] = f[i][j] + f[j][j]，或者f[i][j] = f[i][i]+f[i][j] 这时候，我们所谓的“前面更新的点对”还是这两个点本来的路径，也就是说，少数两种在某一层先更新的点，影响到后更新的点的情况，是完全合理的，所以说，我们即时把名列前茅维去掉，也满足无后效性原则。因此可以用滚动数组优化。优化之后的状态转移方程即为：f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])。